14
الخميس, نوفمبر

الجذر التّربيعيّ للعدد اثنين هو عدد غير عادي

رياضيات في دقيقة
Typography
  • Smaller Small Medium Big Bigger
  • Default Helvetica Segoe Georgia Times
(Hippasus) هيباسوس رياضيٌّ إغريقيٌّ وواحدٌ من رابطةِ فيثاغورث وجَمَعَهُ بفيثاغورث عدم إعجابهما بالأعداد غيرِ العاديّةِ ويُقالُ أنَّ البرهانَ الّذي سنعرِضه في مقالنا هذا كان سبباً في قتله، رُغم عدم وجود أدلّةٍ واضحةٍ على ذلك، والبرهان الّذي سنتكلّم عنه هو واحدٌ من أكثر البراهين الرّياضيّة مُتعةً في تاريخ الرّياضيات، أظهَرَ فيه هيباسوس أنّ هو عددٌ غيرُ عاديّ، بكلماتٍ أخرى، لايمكن أن نكتبَه على شكل كسر a/b حيث a وَ b عددان صحيحان.


Image: Syrian Researchers
هيباسوس

بدأ هيباسوس برهانه بفَرْض أنّ العدد المذكور قابلٌ للكتابة على شكل كسرٍ a/b كلٌّ من بسطهa وَ مقامه b عددان صحيحان أوليّان فيما بينهما أي لايملكان قاسماً مشتركاً.
بالتّالي:



وبتربيع طرفي العلاقة الأخيرة وَجَدَ هيباسوس أنّ:



ثمّ ضرب طرفي العلاقة السّابقة بالعدد فحصل على التّالي:



وهذا يعني أنّ العدد هو عددٌ زوجيّ لأنّه مُضاعفٌ للعدد 2. الآن وبما أنّ العدد هو عددٌ زوجيٌّ سيكون العدد a عددأً زوجيّاً ( تستطيع التّأكُّد بنفسك أنّ مُربّع العدد الفرديّ هو حتماً عددٌ فرديّ ). وهذا يعني أنّ العدد a يمكن أن يُكتب بالشّكل : a=2c من أجلِّ عددٍ صحيحٍ ما c. ومنه:



قام هيباسوس في هذه المرحلة بتقسيم العلاقة الأخيرة على 2 فوجد أنّ:



وهذا يعني أنّ العدد هو عددٌ زوجيّ، مايعني مرّةً ثانيةً أنّ b هو عددٌ زوجيّ. لكن عندئذٍ سيكون كِلا العددين a وَ b هما عددان زوجيّان، مايناقض أنّهما عددان أوليّان فيما بينهما. هذا بدوره يقود إلى أنّ الفرض الأساسيّ أنّ العدد يُكتب على شكل كسرٍ عاديٍّ a/b يجب أن يكون فرضاً خاطئاً، والصّحيح أنَّ العدد هو عددٌ غيرُ عاديّ.

المصدر: هنا